Die Finite-Elemente-Methode ist ein allgemeines numerisches Verfahren, das bei diversen physikalischen Aufgabenstellungen benutzt wird. Es wird auch kurz FEM genannt oder als Methode der Finiten Elemente. FEM gilt als ein Aufwandsarme Methode, um die Verformung von Festkörpern mit einer komplexen geometrischen Form zu untersuchen. Logisch basiert die FEM auf dem numerischen Lösen eines komplexen Systems aus Differentialgleichungen. Sie besteht aus einem System aus vielen verschiedenen Differentialgleichungen.
Diese Reihe an Differentialgleichungen benötigt eine hohe Rechenleistung. Deswegen konnten wichtige Teile die Finite-Elemente-Methode nur mithilfe leistungsstarker Computer gelöst werden. Aus diesem Grund ist die FEM computergerecht formuliert. Sie war für das Vorankommen einiger Berechnungsgebiete beliebiger Form ausschlaggebend.
Wie funktioniert die Finite-Elemente-Methode?
Das zu berechnende Gebiet wird in finite Elemente aufgeteilt. Finite Elemente sind Teilgebiete mit einer einfachen Form, deren physikalisches Verhalten man unproblematisch berechnen kann. Wenn man das physikalische Verhalten des gesamten Körpers erhalten will, muss man, bei den Übergängen zwischen den Elementen, mit problemabhängigen Stetigkeitsbedingungen arbeiten.
Die Parameter der Ansatzfunktionen enthalten normalerweise eine physikalische Bedeutung. Um die Bewegungsfunktion zu erhalten, muss man deswegen die Werte der Parameter der Funktionen herausfinden. Durch eine Aufteilung in mehr finite Elemente wird die Genauigkeit des Verfahrens verbessert.
Innerhalb der finiten Elemente werden die Definitionen der Ansatzfunktionen ermittelt. Mit diesen Definitionen kann man die Übergangs,- Rand,- und Anfangsfunktionen der herausfinden, indem man sie in die Differentialgleichung eingesetzt wird. Dadurch erhält man ein Gleichungssystem, das meistens numerisch gelöst werden kann. Die Größe des Gleichungssystems wächst mit der Anzahl der finiten Elemente.
Wo wird die Finite-Elemente-Methode angewandt?
Anfangs wurde diese Methode für die lineare Behandlung fester Körper und Strukturen angewandt. Mittlerweile wurde diese Methode so weit verallgemeinert, dass sie in vielen physikalischen Problemstellungen helfen kann. Mithilfe dieser Methode können z.B. in den den Bereichen Luft- und Raumfahrttechnik, Machinenbau, Fahrzeugbau Medizintechnik und in vielen weiteren Bereichen wichtige Gleichungssysteme gelöst werden.
Wie funktioniert dieses Verfahren?
Bei diesem Verfahren wird eine diskrete Untermenge eines Grundgebietes ermittelt. Dazu wird der Gesamtkörper in die finiten Elemente zerlegt. Das sind kleone, simple Teilgebiete, die wesentlich leichter zu berechnen sind. Der Name „Finite Elemente“ soll den Unterschied zu der analytischen Betrachtung infinitisemaler Elemente hervorheben.
In diesem Verfahren spielen sogenannte Knoten eine wichtige Rolle. Knoten sind die Ecken der finiten Elemente und sie bilden eine diskrete Untermene, die in das numerische Verfahren eingesetzt wird. Dann werden Approximationsfunktionen auf den Elementen eingeführt, in denen die unbekannten Knotengrößen enthalten sind. An diesem Punkt hat man eine schwache Formulierung des Randwertproblems, in die man die bereits erhaltenen Approximationen einführt.
Dadurch erhält man Elementintegrale, die mit einer numerischen Quadratur behandelt werden werden. Danach fügt man die erhaltenen Randwertprobleme in ein lineares Gleichungssystem ein, um partielle,lineare Differentialgleichungen zu erhalten.
Vorgegebene Unterteilungen
Es gibt Aufgabenstellungen, bei denen die Unterteilung in die verschiedenen Elemente bereits zum größten Teil vorgegeben ist. Ein Beispiel dafür sind räumliche Fachwerke, deren einzelne Stäbe als Elemente genommen werden. Das ist ebenfalls bei Rahmenkonstruktionen der Fall, bei denen die einzelnen Balken als Elemente dargestellt werden. Falls die Probleme sich auf zweidimensolnale Objekte beziehen, wird das Grundgebiet in einige verschiedene zweidimensionale, geometrische Formen unterteilt.
Bei räumlichen Problemen wird das dreidimensionale Gebilde z.B in Quaderelemente und Tetraederelemente oder auch in krummflächig berandete Elemente unterteilt.