Finite-Elemente-Methode (FEM)

Die Finite-Elemente-Methode (FEM), auch bekannt als die „Finite-Elemente-Methode“, ist eine allgemeine numerische Methode, die in verschiedenen physikalischen Aufgaben verwendet wird. Am bekanntesten ist die Verwendung von FEM zur Festigkeits – und Deformationsanalyse von Festkörpern mit komplexer geometrischer Form, da hier der Einsatz klassischer Methoden (z. B. Balkentheorie) zu teuer oder unmöglich erscheint. Logischerweise basiert FEM auf der numerischen Lösung eines komplexen Systems von Differentialgleichungen.

Die Berechnungsdomäne (wie z. B. Festkörper) wird in einer letzten Anzahl von Unterbereichen (z. B. Teilkörper) einfacher sein – „Finite-Elemente“ -Split, deren physikalisches Verhalten aufgrund ihrer einfachen Geometrie mit bekannten Formfunktionen gut berechnet werden kann. Das physikalische Verhalten des gesamten Körpers wird im Übergang von einem Element zum nächsten durch sehr spezifische problemabhängige Kontinuitätsbeziehungen modelliert, die von den Ansätzen erfüllt werden müssen.

Die Approximationsmerkmale enthalten beispielsweise Parameter, die üblicherweise eine physikalische Bedeutung haben. Beispielsweise können Sie einen bestimmten Punkt in der Komponente zu einem bestimmten Zeitpunkt ändern. Die Suche nach der Bewegungsfunktion wird somit auf die Suche nach den Werten der Parameter der Funktionen zurückgeführt. Durch die Verwendung von immer mehr Parametern (z. B. immer mehr, kleinere Elemente) oder Merkmalen höherer und höherer Ordnung kann die Genauigkeit der Näherungslösung verbessert werden.

Die Entwicklung von FEM war in wesentlichen Schritten nur bei der Entwicklung leistungsfähiger Rechner möglich, da hier erhebliche Rechenleistung benötigt wird. Daher wurde diese Methode von Anfang an rechnergerecht formuliert. Es hat bedeutende Fortschritte bei der Behandlung beliebiger Rechenbereiche gemacht.

Einführung 

Generiertes Baumodell eines Antriebsstempels (Dieselmotor) als Bestandteil einer Brennkraftmaschine zur Spannungsanalyse

Die FE-Methode kann zur Berechnung von Problemen aus verschiedenen physikalischen Disziplinen verwendet werden, da es sich im Grunde um eine numerische Methode zur Lösung von Differentialgleichungen handelt. Zuerst wird der Berechnungsbereich („Teil“) in eine große Anzahl von Elementen unterteilt – ausreichend fein. Diese Gegenstände sind endlich begrenzt, dh ihre tatsächliche Größe ist immer noch relevant (und ist nicht unendlich – unendlich klein). Die gemeinsame Nutzung des Bereichs auf eine bestimmte Anzahl von Elementen mit begrenzter Größe, die durch eine begrenzte Anzahl von Parametern beschrieben werden können, gab der Methode den Namen „Finite-Elemente-Methode“.

Innerhalb dieser Elemente gibt es definierte Ansätze (zB lokale Ritz-Ansätze pro Element). Setzen Sie diese Formmerkmale in das Problem ein, um die Differentialgleichung zu lösen, die wir zusammen mit den Start-, Kanten- und Übergangsbedingungen erhalten, einem Gleichungssystem, das im Allgemeinen numerisch gelöst wird. Die Größe des zu lösenden Gleichungssystems hängt stark von der Anzahl der finiten Elemente ab. Seine Lösung ist letztlich die numerische Lösung der betrachteten Differentialgleichung.

Geschichte 

Die Verwendung von FEM in der Praxis begann im Jahr 1950 mit einer Strukturanalyse des Tragflügel in der Luftfahrtindustrie (Turner, Clough 1956) und bald auch im Fahrzeugbau. Das Verfahren beruht hier auf der Arbeit für den Daimler AG in Stuttgart, das die proprietären FEM-Programm ESEM (Elastostatik-Elemente-Methode) begonnen, lange bevor Computer-Aided Design (CAD) machte ihren Eintritt in 1980. Das Konzept der Finite-Elemente-Methode zuerst im Jahr 1960 von RW Clough vorgeschlagen wurde und ist seit den 1970er Jahren weit verbreitet. Der gebräuchlichste deutschsprachige Begriff für industrielle Anwender ist der Berechnungsingenieur.

Die Geschichte der finalen Elementmethode leitet sich aus Recherchen und Publikationen folgender Autoren ab (Auswahl):

  • Karl Heinrich Schellbach: Variationsberechnung; [1] Festlegen eines minimalen Oberflächenproblems (1851/52)
  • Ernst Gustav Kirsch: Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie von Festkörpern aus der Behandlung eines Punktesystems, das durch einen elastischen Hirsch verbunden ist (1868) [2]
  • John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1842-1919): Zur Theorie des Klangs. 1870 [3]
  • Walter Ritz (1878-1909): Neue Methode zur Lösung von Varietätsproblemen, [4] Ritz-Methode (1908/09)
  • Boris G. Galerkin (1871-1945): Methode der gewichteten Überreste (1915)
  • Erich Trefftz (1926): lokalisierte Annäherungsmerkmale; Im Gegensatz zur Methode von Ritz
  • Hans Ebner (1929): Schneidebrett als flaches Element im Flugzeugdesign
  • Alexander Hrennikoff (1896-1984): Barmodelle, Austausch von Boxen mit Boxen, Platten mit Trägerregeln 1940/41
  • Richard Courant (1888-1972): Variationsverfahren zur Lösung von Gleichgewichts- und Schwingungsproblemen. 1943 (Lokaler Transportansatz, Elementaransatz bei Vibrationsproblemen)
  • William Prager (1903-1980), John Lighton Synge (1897-1995): Annäherung an die Elastizität basierend auf dem Konzept des funktionalen Raums. 1947
  • John Argyris (1913-2004): Kraft- und Verschiebungsverfahren für Stabstrukturen, Matrixformulierung (1954/55)
  • MJ Turner, Ray W. Clough, HC Martin, LJ Oben: Steifigkeits- und Durchbiegungsanalyse komplexer Strukturen. 1956 (erste Strukturberechnung von Flügen auf Boeing, erste Anwendung von FEM mit Computerprogramm, erste Anwendung von Flächenelementen)
  • Ray W. Clough (* 1920): Die letzte Elementmethode in der Flugstressanalyse. 1960 (wahrscheinlich erste Verwendung des Begriffs finite Elemente)
  • Spierig (1963): Entwicklung dreieckiger Elemente, Übertragung auf die Schale
  • Olgierd Cecil Zienkiewicz (1921-2009), ein Pionier von fünf und die ersten Standardreferenz (Lehrbuch) Finite-Elemente-Struktur und Kontinuum 1967 (mit YK Cheung)
  • Alfred Zimmer (* 1920) und Peter Groth (* 1938), die Pioniere der FEM, das erste deutsche FEM-Lehrbuch: Element Method Elastostics 1969 Oldenbourg Verlag, München, Wien
  • Olga Ladyzhenskaya (1922-2004), Ivo Babuška (* 1926) und Franco Brezzi (* 1945) – Ladyschenskaja-Babuska Brezzi-Bedingung für die Stabilität eines Mischelement Problem mit Sattelpunkt-Struktur
  • Ivo Babuška (* 1926) – Adaptiver Finite Elementalgoritmer

Anwendung 

Die erste Anwendung von FEM war linear Behandlung von Feststoffen und Strukturen in Form von Verdrängungsmethode, und auf dieser Grundlage hat die FEM-seinen Impuls. Der Begriff „Endposten“ wurde später verwendet. In der Fortsetzung der Forschung hat die Finite-Elemente-Methode noch weiter verallgemeinert wurde und nun aktiv in vielen körperlichen Problemen, einschließlich a. in verschiedenen verknüpften Feldberechnungen, Wetter oder technische Problemen im Fahrzeugbau, Medizintechnik, Luft- und Raumfahrt, Maschinenbau oder Verbrauchsmaterialien in Technik eingesetzt. Eine wichtige Anwendung des Verfahrens ist die Produktleistung, einschließlich dem mechanischen Festigkeitsberechnungen Einzelkomponenten oder, beispielsweise komplette Fahrwerks- und Körperstrukturen sollen kostspielige Kollisionstests zu verbessern.

Verfahren für eine lineare mechanische Berechnung (zum Beispiel) 

Anwendungen, die die Methode des endgültigen Elements verwenden, arbeiten nach dem EVA-Prinzip: Der Benutzer erstellt eine (Komponenten-) Geometrie in einem CAD-Programm. Er gibt weitere Eingaben an den sogenannten FE-Vorprozessor. Ein FEM-Liebhaber führt die eigentliche Rechnung aus und der Benutzer erhält die berechneten Ergebnisse, die er als FE-Postprozessor in Form von grafischen Darstellungen bezeichnet. Häufig kombinieren Pre- und Post-Prozessoren in einem Programm oder einem Teil des CAD-Programms.

Prozessketten-Berechnung der linearen Stärke

Eingabe: Präprozessor 

Im CAD-Programm wird die Komponente entworfen und unter Verwendung einer direkten Schnittstelle oder eines neutralen Austauschformats wie STEP an den FE-Vorprozessor übertragen. Netzwerkparameter, die Elementgröße und Elementtyp (z. B. Tetrahedron, Hexaeder in 3D) in Modul vernetzende erzeugt die finiten Elemente unter Verwendung eines Maskierungsalgorithmus auswählen. Für die mechanische Kontrollanalyse sollte das Verhalten des Materials spezifiziert werden, das im Wesentlichen die Reaktionen bestimmt, die die Komponente (zB Verformung) auf äußere Belastungen durchläuft. Abhängig vom Material variiert die Beziehung zwischen Spannung und Dehnung während der Verformung. Wenn diese Beziehung linear ist nur verwendet elasticitetsmodulen und FE FE metric beregningenPoisson Nummer angefordert, andernfalls notwendig machen zusätzliche Materialparameter und Eingaben in dem Vorprozessor. Andere Randbedingungen sind z. B. die tatsächlichen Belastungen des Bauteils (Kräfte, Drücke usw.). Um ein möglichst realitätsnahes Bild zu erhalten, werden schließlich homogene (Grenzen) und inhomogene Grenzen (Verschiebungen) sowie alle für das Modell zu berücksichtigenden Lasten angegeben.

Behandling: Gleichungslöser 

Je nach Programm wird ein explizites (Stand-alone-Programm) oder eine integrierte Entzerrungslösung verwendet.

Der Vorteil von Direct-Equalizer-Resolvern nach der Gauß’schen Methode liegt in der praktischen Anwendung in der numerischen Stabilität und der Erzielung eines exakten Ergebnisses. Nachteile sind eine schlechte Konditionierung der meist spärlichen Steifigkeitsmatrizen und die Anforderungen an ein hohes Speichervermögen, wie oben erwähnt. Iterative Equalizer-Resolver sind weniger empfindlich gegenüber schlechter Konditionierung und benötigen weniger Speicher bei der Verwendung von Nicht-Null-Elementspeichern. Iterative Looser verwendet jedoch ein Abbruchkriterium, um die Ergebnisse zu berechnen. Wenn dies erreicht wird, bevor eine näherungsweise genaue Lösung gefunden wird, kann das Ergebnis, beispielsweise eine Spannungskurve, leicht fehlinterpretiert werden. In einigen Implementierungen werden sogenannte Streumatrixen (Streumatrizen) angewendet. Dadurch werden nur die Positionen und Werte von Einträgen gespeichert, die von Null abweichen. Somit können Sie das Gleichungssystem immer noch direkt lösen,

Problem: Postprozessor 

Für die mechanische Festigkeit erhält Berechnungs Benutzer insbesondere Stress, Deformation und Dehnungswerte als Ergebnis der FEM ligningsoppløseren. Dies kann z. B. in einem falschen Farbbild durch den Postprozessor dargestellt werden.

Allgemeine Bedienung

Diskretisierung

Die letzte Elementmethode ist eine diskrete Methode, dh die Lösung wird für eine diskrete Teilmenge der Grundfläche berechnet. Zu diesem Zweck ist dies in einfache Teilbereiche, die sogenannten finiten Elemente (Netzwerke) unterteilt. Der Begriff „finit“ betont den Unterschied zwischen der analytischen Bewertung von infiniten Elementen. Die Ecken der letzten Elemente werden Knoten genannt. Diese Knoten bilden die diskrete Teilmenge der numerischen Methode. Die Elemente führen Approximationsmerkmale ein, die die unbekannten Knoten als Parameter enthalten. Die lokalen Ansätze werden in den schwachen Wortlaut des Grenzwertproblems eingeführt. Die resultierenden Elementintegrale werden durch numerische Quadratur berechnet. Annäherungsansätze sind „eingebettet“, so dass an den Elementen nach der Integration nur die Knotenwerte als unbekannt bleiben. Kontinuitätsanforderungen für Elementgrenzen sammeln Elementgleichungen. Auf diese Weise werden Randwertprobleme für lineare partielle Differentialgleichungen in ein lineares Gleichungssystem mit symmetrischen Systemmatrizen transformiert. Für nicht-lineare Differentialgleichungen des Algorithmus sind analog, außer daß die nicht-linearen Abhängigkeiten durch geeignete Verfahren (z. B. Newton-Methode) iterativ linearisiert und das lineare Gleichungssystem wird in jedem Schritt, Schrittgröße einrichten . Auf diese Weise werden Randwertprobleme für lineare partielle Differentialgleichungen in ein lineares Gleichungssystem mit symmetrischen Systemmatrizen transformiert. Für nichtlineare Differentialgleichungen für den Algorithmus gilt analog der Unterschied, dass die nichtlinearen Abhängigen mit geeigneten Methoden (zB B. Newton-Methode) wird iterativ linearisiert und das lineare Gleichungssystem wird bei jedem Schritt für Schrittgrößen eingestellt. Auf diese Weise werden Randwertprobleme für lineare partielle Differentialgleichungen in ein lineares Gleichungssystem mit symmetrischen Systemmatrizen transformiert. Für nicht-lineare Differentialgleichungen des Algorithmus sind analog, außer daß die nicht-linearen Abhängigkeiten durch geeignete Verfahren (z. B. Newton-Methode) iterativ linearisiert und das lineare Gleichungssystem wird in jedem Schritt, Schrittgröße einrichten .

Beispiel für die Verwendung eines adaptiven Gitters zur Berechnung des Luftstroms um einen Flügel.

Für bestimmte Aufgaben unter den Profilelementen des Problems bereits zu einem großen Teil zur Verfügung gestellt, beispielsweise in Raum Stäben, wobei die einzelnen Stäbe Elemente der Struktur bilden. Dies gilt auch für Rahmenstrukturen, bei denen die einzelnen Strahlen oder geteilten Strahlen die Elemente der Aufgabe darstellen. Für zweidimensionale Probleme wird der Basisbereich unterteilt in Dreiecke, Parallelogramme, geschweiften Dreiecke oder Quadrate. Obwohl nur lineare Elemente verwendet werden, erhält man einen ziemlich guten Ansatz mit einer entsprechend feinen Diskretisierung (Approach) der Grundfläche. Gekrümmte Elemente erhöhen die Qualität des Ansatzes. In jedem Fall erlaubt diese Diskretion eine flexible und kundenspezifische Problemabdeckung der Basislinie. Es muss jedoch berücksichtigt werden, dass sehr scharfe oder stumpfe Winkel in den Elementknoten vermieden werden müssen, um numerische Schwierigkeiten zu beseitigen. Dann wird der angegebene Bereich durch den Bereich der angrenzenden Elemente ersetzt. Mit dem Update können Sie später überprüfen, ob es funktioniert hat.

Räumliche Probleme beinhalten die Aufteilung des dreidimensionalen Bereichs in tetraedrische Elemente, kubische Elemente oder andere angepasste Probleme, möglicherweise sogar gekrümmte oberflächenbegrenzte Elemente, das sind I. D. R. Serendipity oder Lagrange Elemente, bearbeitet.

Die Feinheit der Unterteilung, dh die Netzwerkdichte hat einen entscheidenden Einfluss auf die Genauigkeit der Ergebnisse der approximativen Berechnung. Während die Berechnung von feineren und engeren Netzwerken zunimmt, ist es wichtig, die intelligentesten Netzwerklösungen zu entwickeln, die möglich sind.

Elementansatz 

In jedem der Elemente wird ein problemorientierter Ansatz für das angeforderte Feature oder allgemeiner für die Features ausgewählt, die das Problem beschreiben. Insbesondere sind alle rationalen Funktionen in den unabhängigen Raumkoordinaten geeignet. Für eindimensionale Elemente (Balken, Balken) sind die Polynome des ersten, zweiten, dritten und manchmal sogar höheren Grades möglich. Dreidimensionale Probleme verwenden lineare, quadratische oder Polynome höherer Ordnung. Der Ansatz hängt einerseits vom Element ab und andererseits beeinflusst das zu adressierende Problem den zu wählenden Ansatz. Da sich die Approach-Funktionen von einem Element auf das benachbarte hochspezifische problemabhängige Continuity Condition Meeting begeben müssen. Kontinuitätsanforderungen sind oft aus physikalischen Gründen offensichtlich und auch aus mathematischen Gründen notwendig. Zum Beispiel muss die Verschiebung eines zusammenhängenden Körpers in einer Richtung beim Übergang von einem Element zum anderen kontinuierlich sein, um die Kontinuität des Materials sicherzustellen. Im Falle eines Stabes oder Blechbiegekontinuitätsanforderungen höher sind, als auch die Kontinuität der ersten Ableitung oder durch die beiden ersten partiellen Ableitungen es analog physikalischen Gründen zu verlangen. Elemente mit Anbindungsmerkmalen, die die Kontinuitätsbedingungen erfüllen, werden entsprechend aufgerufen.

Um tatsächlich die Anforderungen der Stetigkeit zu erfüllen, die Funktion Muster des Bildes durch die Funktionswert und auch die Werte des (Teil-) -derivate (node ​​shift) werden in bestimmten Punkten des Elementknoten ausgedrückt. Die funktionalen Werte und Werte von Ableitungen, die in den Knoten verwendet werden, werden die Elementvariablenvariablen genannt. Unter Verwendung dieser Knotenvariablen ist die Approximationsfunktion eine lineare Kombination von sogenannten Formfunktionen mit den Knotenvariablen als Koeffizienten.

Es ist zweckmäßig, zusätzlich zu einem elementbezogenen Lokal ein globales Koordinatensystem für die Knotenkoordinaten zu verwenden. Beide sind durch Transformationsfunktionen verknüpft. Wenn die gleichen Formfunktionen für diese Transformation so deformasjonsmetoden verwendet, isoparametriske sie Elemente, Merkmale von Bachelor-oder Diplom-Grad unter- oder über parametrische Elemente.

Randbedingungen 

Problem Dirichlet-Randbedingungen / Funktionswert Neumann randbettingelsene
statisches Problem Stützbedingung / Verschiebung Kraftpapier
Aussickern Piezometrischer Kopf Quelle oder Senke
Wärmeleitung temperaturen die Heizquelle
elektrischer Strom elektrische Spannung Strom
elektrostatikk elektrische Spannung elektrische Ladung
Magnetostatik magnetisches Potential magnetischer Fluss

Nachdem ein gegebenes Problem diskretisiert und Elementmatrizen erstellt wurden, geben Sie Randbedingungen ein. Ein typisches FE-Problem kann zwei Arten von Einschränkungen haben: Dirichlet-Constraints und Neumann-Constraints. Sie gelten immer an den Hubs.

Eine Dirichlet-Beschränkung spezifiziert direkt einen Funktionswert, und eine Neumann-Beschränkung spezifiziert eine Ableitung eines Funktionswerts. Bei einer Dirichlet-Randbedingung bedeutet dies, dass das Problem einen Freiheitsgrad weniger erhält und die entsprechende Linie und Spalte in der allgemeinen Matrix gelöscht werden. Wenn die Dirichlet-Randbedingung nicht Null ist, wird der Wert entsprechend seinem Vorfaktor der linearen Form addiert („richtig“). Abhängig von der Natur des physikalischen Problems können sie unterschiedliche physikalische Größen sein, wie in der Tabelle beispielhaft dargestellt. Neumann Border Terms haben auch einen Anteil an der linearen Form („rechte Seite“).

Eine andere Variante sind periodische Randbedingungen, bei denen Werte an einer Kante als Daten für eine andere Kante genommen werden und so ein periodisch fortgesetztes unendliches Gebiet simuliert wird. Für rotationssymmetrische Probleme werden sogenannte zyklische Randbedingungen definiert.

Grundgleichungen der Verschiebungsmethode

Die Verschiebungsmethode ist die Standardformulierung der Elementmethode, bei der die Verschiebungen die primäre Unbekannte sind, die die Translation, Rotation und Deformation eines Festkörpers beschreiben. Die Shift-Methode ist in allen gängigen Finite-Elemente-Programmen verfügbar, mit denen solide mechanische Probleme berechnet werden können. Es gibt mehrere grundlegende Gleichungen, um Festkörperprobleme zu lösen.

Prinzip von d’Alembert in der Lagrange-Version

Eine Gleichung, die der Verdrängungsmethode zugrunde liegt, mit der allgemeine Probleme der Festkörpermechanik gelöst werden können, ist das Prinzip von d’Alembert, wie es die Kontinuumsmechanik in der Lagrange-Beschreibung formuliert. Mit diesem Prinzip können sowohl lineare Probleme wie die Frage der Eigenschwingungen als auch sehr nichtlineare Probleme wie Crashtests analysiert werden. Hier wird die Methode für die gewichteten Reste nach Galerkin, auch Galerkin-Methode oder Galerkin-Ansatz genannt, verwendet.

Prinzip der minimalen potentiellen Energie 

In konservativen Systemen können Knotenverschiebungen in einem statischen Problem durch die Bedingung bestimmt werden, dass die potentielle Energie mindestens in dem Gleichgewichtszustand ist, der angelegt wird. Mit dem Prinzip der minimalen potentiellen Energie können Steifigkeitsgleichungen von Endelementen direkt bestimmt werden. Die potentielle Energie einer Konstruktion ist die Summe der inneren Verzerrungsenergie (elastische Belastungsenergie) und des Potentials der angelegten Lasten (Arbeit, die durch äußere Kräfte ausgeführt wird).

Arc-Länge-Metode 

Die Bogenlängenmethode ist eine Methode, bei der die leistungsgesteuerte Berechnung die maximale Ladekapazität überschreiten kann. Die Notwendigkeit von kraftgetriebenen Methoden besteht darin, dass im Gegensatz zu schaltgesteuerten Verfahren mehr Lasten direkt in Relation gesetzt werden können. In der Arc-Methode wird die Last wie angegeben erhöht. Wenn diese Lastzunahme zu einer übermäßigen Verformung führt, wird die Last mit einem Faktor kleiner als 1 multipliziert, auch wenn die Last nach Erreichen der Last negativ ist.

Programmierer

Finite-Elemente-Software und ihre Anwendung ist jetzt eine Branche mit mehreren Milliarden Dollar Jahresumsatz. [5]

  • In der Praxis sind viele verschiedene eigenständige große Programme mit einem ähnlichen Anwendungsbereich im Einsatz; Die Wahl der Anwendung ist nicht nur die Verwendung, sondern auch Faktoren wie Verfügbarkeit, Zertifizierungsstandard hängt von den Unternehmen oder Lizenzkosten ab.
  • Die in kommerzielle CAD-Systeme integrierten fertigen Elementpakete ermöglichen es, einfachere (meist lineare) Probleme zu berechnen und direkt mit dem CAD-System auszuwerten. Die einzelnen Schritte, z. Der Vernetzungsprozess (Eingriff) wird automatisch im Hintergrund ausgeführt.
  • Da es manchmal sehr viel Rechenleistung zur Berechnung benötigt, stellen die ersten Unternehmen den Anwendern Rechenleistung in Form von Skiservices zur Verfügung.
  • Es gibt Pre / Post-Prozessoren mit grafischen Schnittstellen und separatem FE-Resolver.
  • Es gibt Programmframes ohne grafische Schnittstelle, meist als integrierter Präprozessor für Lösungen, die von Programmiersprachen ausgeführt werden, wie zum Beispiel selbst erstellte zusätzliche Routinen zur Steuerung der FE-Lösung.

Mathematische Umleitung

Der erkundete Bereich {\ displaystyle G}  ist der erste in den Unterteilungen {\ displaystyle G_ {1}, \ dotsc, G_ {m} \ subgroup G} , die letzten Elemente, unterteilt:

{\ displaystyle G = \ bigcup_ {e = 1} ^ {m} G_ {e}} ,

innerhalb von {\ display G}  Wetter für Freigabefunktion der Abreise für {\ display f \ colon G \ to \ mathbb {R} ^ {k}}  erreichen anderen Ansatz Funktionen {\ Display Style \ psi _ {1}, \ dotsc, \ psi _ {n} \ Doppelpunkt G \ zu \ mathbb {R} ^ {k}} definiert, was nur einige wenige Elemente ungleich Null ist. Diese Eigenschaft ist der wahre Grund, um „endgültige“ Elemente zu benennen.

Durch eine lineare Kombination des Ansatzes werden mögliche Lösungen des numerischen Ansatzes ermittelt

{\ Anzeigestil f (x) = \ Summe _ {i = 1} ^ {n} C_ {i} \ mal \ psi _ {i} (x) \ quad, C_ {i} \ i \ mathbb {R} } ,

Da jede Testfunktion bei den meisten Elementen verschwindet, kann sie auf das Element {\ displaystyle G_ {e}} zurückgeführt werden.  Limited function {\ displaystyle f | G_ {e}} , durch die Linearkombination kleinere Testmerkmale {\ displaystyle \ psi _ {i}}  beschreiben.

La Differentialgleichungen und Randbedingungen für das Problem als lineare Operatoren in Bezug auf die Funktionen {\ display f}  Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem in Bezug auf die freien Variablen der linearen Kombination {\ display c_ {i}} :

{\ displaystyle D (c) = g}

mit

{\ displaystyle D}  = Lineare Abbildung von {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}  in einen funktionalen Raum
{\ displaystyle c}  = Vektor der linearen Kombinationsfaktoren {\ displaystyle c_ {i}}
{\ displaystyle g}  = Funktion, die unterschiedliche Lizenz- und Randbedingungen darstellt

Um ein endliches lineares Gleichungssystem zu erhalten, messen Sie das Ausmaß von {\ displaystyle D}  auf den erkannten Erkennungsmerkmalen {\ displaystyle \ phi _ {1}, \ dotsc, \ phi_ {n}} . Dann können Sie {\ displaystyle g}  über lineare Kombinationen von {\ displaystyle \ phi_ {i}}  beschreiben:

{\ Displaystil g (x) = \ sum {{1} ^ {n} die Fläche b {i} \ mal \ ø _ {i} (x) \ quad, bj {i} \ i \ mathbb {R }}

und Sie erhalten das Gleichungssystem als Ganzes

{\ displaystyle A \ cdot c = b}

mit

{\ displaystyle A}  = Quadratische Matrix mit {\ displaystyle A = \ phi ^ {- 1} \ cdot D}
{\ displaystyle c}  = Vektor der linearen Kombinationsfaktoren {\ displaystyle c_ {i}}
{\ displaystyle b}  = Vektor der linearen Kombinationsfaktoren {\ displaystyle b_ {i}}

Die Dimension der Matrix aus der Anzahl der Erkennungsfunktionen von den Freiheitsgraden multipliziert kommt, das das physikalische Modell {\ display k} zu Grunde liegt , die Dimension der Matrix ist die Anzahl der gesamten Freiheitsgrade, wobei das Modell aus den entsprechenden Definitionen für die Probleme , die nur (beispielsweise ausgeschlossen werden muß. Im Fall eines elastischen Körpers , der steife Körper verschiebt sich).

Da jedes Element nur mit einigen benachbarten Elementen verknüpft ist, sind die meisten Werte der Gesamtmatrix Null, sodass es „spärlich“ ist. In den meisten Fällen verwendet , um die gleichen Funktionen wie Approximationsfunktionen {\ display \ psi _ {i}}  und Testfunktionen {\ display \ phi_ {i}} verwendet. In diesem Fall ist die Matrix auch symmetrisch zur Hauptdiagonalen.

Wenn die Anzahl der Freiheitsgrade nicht zu groß ist (bis zu 500.000) wird dieses Gleichungssystem am effizientesten gelöst durch eine direkte Methode unter Verwendung, zum Beispiel mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. In diesem Fall kann die dünne Struktur des Gleichungssystems effizient verwendet werden. Während in dem Gaußschen Algorithmus der Rechenaufwand ist {\ display N}  Gleichungen {\ display {\ mathcal {O}} (N ^ {3})} Jedoch kann der Einsatz im wesentlichen durch qualifizierte Schwenkmöglichkeiten reduziert werden (wie Markowitz Algorithmus oder Graphentheorie Ansätze).

Mehr als 500.000 noch schlechte Vorbereitung Bedingung der Gleichungen direkt locker immer schwieriger, so dass für große, hauptsächlich iterative Solver, verwendete allmählich eine Lösung zu erhöhen. Einfache Beispiele hierfür ist die Jacobi – und Gauß-Seidel-Verfahren, aber in der Praxis ist es wahrscheinlicher, dass Mehrgitter-Verfahren oder vorkonditioniert Krylovraum Verfahren, wie das Verfahren der konjugierten Gradienten oder GMRES verwendet. Aufgrund der Größe der Gleichungssysteme ist es manchmal notwendig, Parallelrechner zu verwenden.

Wenn die partielle Differentialgleichung nichtlinear ist, ist das resultierende Gleichungssystem ebenfalls nichtlinear. In der Regel kann dies nur mit numerischen Näherungsverfahren gelöst werden. Ein Beispiel für eine solche Methode ist die Newton-Methode, bei der ein lineares System Schritt für Schritt gelöst wird.

Heute gibt es eine Reihe kommerzieller Computerprogramme, die nach der endgültigen Elementmethode arbeiten.

Schwache Formulierung

Eine elliptische partielle Differentialgleichung kann schwach formuliert werden, I. h) Das Problem kann auf eine Weise ausgedrückt werden, die weniger Glätte aus der Lösung erfordert. Dies geschieht wie folgt.

Gegeben ist ein Hilbert – Raum {\ display H} , eine funktionelle (Funktion seines Doppelraumes) {\ Anzeigestil f \ i H = \ {g: \ H \ Pfeil nach rechts \ mathbb {R} | \; g {\ {Text ist linear und stetig}} \}} , sowie die {\ display H} kontinuierliche und ellipsen bilinær Form {\ display a (\ cdot, \ cdot)} , wird genannt {\ display u \ i H}  Lösen Sie das Variationsproblem, wenn

{\ displaystyle a (u, v) = f (v) \\ forall v \ i H} ,

Die Existenz und die Eindeutigkeit der Lösung {\ display u} ergibt die Darstellung von Fréchet-Riesz- (in dem Fall , dass die bilineare Form {\ display a} gesehen symmetrisch) oder Lemma von Lax Milgram (allgemeiner Fall).

Wir wissen, dass der Raum {\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega): = \ {f: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R} \ | \ \ | f \ | _ {L ^ {2}} <\ Infty \}} ein Hilbert-Raum ist. Daraus können Sie die Sobolewräume {\ displaystyle H ^ {s} (\ Omega)} über die sogenannte schwache Ableitung definieren.

Das Problem {\ displaystyle a (u, v) = f (v)}  kann als Variante einer partiellen Differentialgleichung in einem  schwangeren Feld {\ displaystyle \ omega} betrachtet werden .

Die Poisson-Ausgabe als Beispiel:

{\ displaystyle – \ Delta deg (x) = f (x) \\ für alle x \ in \ omega}
{\ displaystyle u (x) = 0 \ \ für alle x \ in \ partiell \ omega}

hier {\ displaystyle \ Delta} genannt der Laplace-Operator. Eine Multiplikation mit unendlich differenzierbaren Merkmalen {\ displaystyle \ psi \ in C_ {0} ^ {\ infty} (\ Omega)}  ergibt sich nach einer Integration

{\ Displaystyle \ Leftrightarrow – \ int _ {\ Omega} \ Delta \ \ \ psi \, dx = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \, dx \ \ für alle \ psi \ i C_ {0} ^ {\ infty} (\ omega).}

Eine partielle Integration (First Greens-Formel) und Null-Limit-Bedingungen für {\ displaystyle \ psi}  liefern dann

{\ Visningsstil \ Leftrightarrow \ int _ {\ Omega} \ nabla \, \ nabla \ psi \, dx = \ int _ {\ Omega} f \, \ psi \ dx \ \ für alle \ psi \ i C_ {0} ^ {\ infty} (\ omega)}

Nun, es ist {\ Anzeigeart einen (un, \ psi) = \ int _ {\ Omega} \ nabla u \, \ nabla \ psi \, dx}  elliptische und kontinuierliche bilinær Form {\ Anzeigeart H_ {0} ^ {1 } (\ Omega): = {\ topline {C_ {0} ^ {\ infty} (\ Omega)} ^ {} \ | \ cdot \ | _ {H ^ {1}}}} sowie Schaltgetriebes rechten Seite {\ Anzeigeart (f, \ psi) _ {L ^ {2}} = f (\ psi)}  eine kontinuierliche lineare Form {\ Anzeigeart H_ {0 } ^ {1} (\ omega)}

Wenn der Nennfunktionsbereich / Hilbert-Raum eine begrenzte Basis hat, können Sie eine lineare Gleichung aus der Variationsformulierung erhalten.

Für Funktionsräume bestimmt die Wahl der Basis die Effektivität des Verfahrens. Typischerweise ist dabei die Verwendung von Keilen mit triangulasjoner, und in einigen Fällen sind die diskrete Fourier-Transformation (in Sinus- und Kosinusfunktionen split) verwendet.

Aufgrund von Flexibilitätsüberlegungen bezüglich der Flächengeometrie {\ displaystyle \ omega}  Gewöhnlich wird der folgende Ansatz gewählt.

Der Bereich wird diskretisiert {\ display \ omega} durch in Dreiecke und die Verwendung Splines Dividieren {\ display \ lambda_ {p} (x)} , mit den Eckpunkten P verbunden sind , um das endgültige dimensionalen Merkmalsraum {\ display \ omega} zu überspannen . Splines treffen auf die Dreiecke an Fixpunkten {\ display \ lambda_ {p} (q) = \ delta_ {pq}} (wobei δ das Kronecker Delta). Dies kann dann eine diskrete Funktion sein {\ display u_ {h} (x)}  durchscheinen

{\ displaystyle u_ {h} (x) = \ sum_ {p} u_ {p} \, \ lambda_ {p} (x)}

mit {\ displaystyle u_ {p}} Koeffizient relativ zur Basisdarstellung . Aufgrund der begrenzten Basis müssen Sie nicht mehr gegen alle kämpfen {\ display \ psi \ in H_ {0} ^ {1}}  aber nur gegen alle Grundfunktionen, die Variationsformulierung durch reduzierte Linearität

{\ Visningsstil en (u_ {h}, \ lambda _ {q}) = \ sum _ {p} u_ {p} \, en (\ lambda _ {p}, \ lambda _ {q}) = (f, \ lambda} _ {q)} q \\ forall

Also haben wir eine lineare Gleichung verwendet, um zu lösen

{\ displaystyle A \ cdot u = f} .

mit

{\ displaystyle A_ {pq} = a (\ lambda_ {p}, \ lambda_ {q})}

und

{\ displaystyle f_ {q} = (f, \ lambda_ {q})}

Dieses Ergebnis wird mit jeder begrenzten Basis des Hilbert-Raums erreicht.

Beispiel

Formale Definition des letzten Elements (nach dem Ciarlet)

Ein letztes Element ist ein dreifaches {\ displaystyle E = (T, \ Pi, \ Sigma}} dort:

  • {\ displaystyle T}  ist ein nicht leerer Bereich (zB Dreiecke, Quadrate, Tetraeder usw.)
  • {\ Display \} Pi  ist ein endlich – dimensionaler Raum Befestigungsmerkmale (lineare, quadratische oder kubische Form Funktionen, dh Keilwellennuten, sines etc.) {\ display \ Pfeil nach rechts}  Formmerkmale
  • {\ displaystyle \ Sigma}  sind viele lineare unabhängige Funktionalitäten auf {\ displaystyle \ Pi}  {\ displaystyle \ rightarrow}  Knotenvariablen

Es ist funktional, dass sie mit den Funktionen der Stiftung verbunden sind:

{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ i \ Sigma: \ sigma_ {i} (\ pi _ {j}) = \ delta_ {ij} \ \ j \ i \ {1, \ ldots, \ dim \ Pi) \}}

So treu zu jeder Funktion

{\ displaystyle v \ i \ Pi: v (x) = \ sum_ {i} \ sigma_ {i} (v) \, \ pi _ {j}} ,

Für Sinus als Grundfunktion von {\ displaystyle \ mathbb {(} R) ^ {1}}  ist dann

{\ Displaystil \ Betreibername {span} \, \ left \ {\ sin (x) \ sin (2x), \ ldots, \ sin (nx) \ rechts \} = \ Pi}

und das funktionale

{\ displaystyle \ sigma _ {i} (\ psi): = (\ sin (ix), \ psi) _ {L ^ {2}}} ,

Für Splines Auswertung auf den festgelegten Punkten der Dreiecke zeigen ausreichende: {\ display \ sigma _ {p} (\ psi) = \ psi (p)} ,

S1: Lineare Elemente auf Dreiecken

Der FÜNF-Raum von kontinuierlichen, stückweisen linearen Funktionen ist definiert als:

{\ displaystyle S ^ {1} (\ Omega, T): = \ links \ lk \ u00fche ich \ C ^ {0} (\ Omega) | {u |} _ {\ Delta} (x, y) = a_ {\ Delta} + b _ {\ Delta} x + c _ {\ Delta} y \ quad \ forall \ Delta \ i T \ rechts \ rbrace}

wobei {\ display \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}  einen Radius und {\ display T = {\ delta} \ subset \ omega}  Triangulation des durch Dreiecke {\ display \ Delta}  ist. {\ Display {u |} _ {\ Delta}}  soll die kontinuierliche Funktion begrenzen {\ display u}  platzieren {\ display \ delta \ Teilmenge T} ,

P1: Lineares Bezugselement auf einem Dreieck 

Das Bezugselement {\ displaystyle {\ hat {T}}}  ist definiert als:

{\ displaystyle {\ har {T}} = \ venstre \ lBrace (x, y) \ i \ mathbb {R} ^ {2} | 0 <x <1 \; {\ text {und}} \; 0 <y <1-x \ rechts \ rbrace.}

Die {\ displaystyle P1}  linearen Elemente sind Funktionen des Typs:

{\ displaystyle p \ Doppelpunkt {\} {\} \ bis \ mathbb {R}, (x, y) \ mapsto a + bx + c \ quad {\ text {med}} \; a, b, c \ i \ mathbb {R}.}

So definieren die Funktion {\ display p} Es  genügt von Werten an den Eckpunkten {\ Anzeigeart {\ {hat E_ {1}}} = (0,0), {\ {hat E_ {2}}} = ( 1.0), {\ {hat E_ {3}}}: = (0.1)} spät. Aus diesem Grund können Sie alle Funktionen {\ displaystyle p}  mit grundlegenden Funktionen ausführen {\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {i}} steht  für:

{\ displaystyle p (x, y) = \ Summe _ {i = 1} ^ {3} \ alpha _ {i} {\ har {\ phi}} _ {i} (x, y) \ quad {\ text {mit}} \; \ alpha_ {i} \ in \ mathbb {R}.}

Die grundlegenden Funktionen werden als lineare Funktionen angegeben, die sich nur auf einem Eckpunkt ungleich null befinden:

{\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {i} {{hat {E_ {j}}}) = \ delta _ {i, j} \ quad \ für alle i, j = 1,2,3 }

Dort ist {\ displaystyle \ delta} die Kronecker-Partition.

Transformation des Referenzelements

Um das Referenzelement von jedem Dreieck zu verbinden {\ display T}  (Vertices: {\ display E_ {1}, {2} E_, E_ {3}} ) unter Verwendung einer linearen Transformation {\ display F_ {T}} :

{\ Anzeigestil {\ {begin angeordnet} F_ {T} & \ colon {\ hat {T}} \ T, \ quad F (v) = B- {T} v + bj {T} \\ B- {T} &. = \ left (E_ {2} -E_ {1}, {3} E_ -E_ {1} \ rechts) \ quad Oberfläche b {T} = {1} E_ \}}} ausgerichtet end {

Für viele Aufgaben im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen wird {\ displaystyle L ^ {2}} Skaliertes Produkt der Grundfunktionen {\ displaystyle \ phi_ {i}}  (definiert in einem beliebigen Dreieck {\ displaystyle T} ) berechnet:

{\ Anzeigeformat (\ nabla \ o _ {i}, \ nabla \ o _ {j}) _ {L ^ {2} (t)} = \ int _ {T} \ nabla \ o _ {i} (x ) \ cdot \ nabla \ phi_ {j} (x) dx.}

Mit dem Transformationssatz können Sie die Integration in das Referenzelement verschieben:

{\ Display Style \ int _ {T} \ nabla \ ø _ {i} (x) \ times \ nabla \ ø _ {j} (x) dx = \ int _ {haben \ {t}} \ left (\ left (DF_ {T} (z) \ right) ^ {- t} \ nabla {\ hat {\ phi}} _ {i} (z) \ links (DF_ {T} (z) \ right) ^ {- T} \ {nabla \ hat {\ phi}} _ {j} (z) \ rechts) _ {\ mathbb {R} ^ {2}} | \ Der DF_ {T} (z) | dz}.

Referenzen 

  • Martin Mayr / Ulrich Thalhofer: Numerische Lösungsmethoden in der Praxis: FEM-BEM-FDM. Hanser, 1993, ISBN 3-446-17061-8, S. 312.
  • JN Reddy: Energieprinzipien und Methoden der Variation in der angewandten Mechanik. Zweite Ausgabe. John Wiley & Sons, 2002, ISBN 0-471-17985-X.
  • D. Braess: Finite-Elemente-Theorie, Schnelllöser og Anwendungen i Elastizitätstheorie. 4. utgave. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-72449-0.
  • Günter Müller (Hrsg.): FEM für Praktiker. 4 Bände. Fachverlag, die Reinigungsfirma.
    • Band 1: Grundlagen: Grundlegendes Wissen und Arbeitsbeispiele zu FEMA-Anwendungen. 2007, ISBN 978-3-8169-2685-6.
    • Band 2: Strukturelle Dynamik. 2008, ISBN 978-3-8169-2842-3.
    • Band 3: Temperaturfelt. 2007, ISBN 978-3-8169-2714-3.
    • Band 4: Elektrotechnik. 2009, ISBN 978-3-8169-2841-6.
  • Klaus-Jürgen Bathhe: Finite-Elemente-Methoden. Zweite Ausgabe. Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-66806-3.
  • VI Gawehn: Finite-Elemente-Metode. BOD Book on Demand, 2009, ISBN 978-3-8370-2497-5 (FEM Grundlagen der Statik und Dynamik).
  • Frank Rieg, Reinhard Hackenschmidt, Bettina Alber-Laukant: Finite-Elemente-Analyse für Ingenieure: Eine leicht verständliche Einführung. Hanser Fachbuchverlag, 2012, ISBN 978-3-446-42776-1 (Anwendung von FEM in Engineering).

Weiterführende Quellen

Einzelne Referenzen

  1. Hochspringen ↑ Karl Schellbach: Probleme bei der Variationsrechnung. I: Zeitschrift für saubere und angewandte Mathematik. Vol. 41, Nr. 4, 1852, S. 293-363.
  2. Wechseln ↑ Ernst Gustav Kirsch up: die Grundgleichungen der Theorie der Elastizität von Festkörpern abgeleitet aus der Betrachtung eines Systems von Punkten, die durch elastische Klammern verbunden sind. I: Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure, Band 7 (1868), Heft 8.
  3. Hochspringen ↑ John William Strutt: Zur Theorie des Klangs. I: Philosophische Transaktionen der Royal Society of London. Band 161, 1871, Seiten 77-118.
  4. Hochspringen ↑ Walter Ritz: Über eine neue Methode, um bestimmte Variationen mit mathematischer Physik zu lösen. I: Zeitschrift für saubere und angewandte Mathematik. Bind 135, 1909, S. 1-61.
  5. Hochspringen ↑ David Roylance: Finite-Elemente-Analyse. (PDF, 348 KB), eröffnet am 10. Mai 2017.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Elemente-Methode

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